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高二导数知识点总结

导读: 高二导数知识点总结(共5篇)导数知识点总结导 数 知识要点1 导数(导函数的简称)的定义:设x0是函数yf(x)定义域的一点,如果自变量x在x0处有增量x,则函数值y也引起相应的增量yyxf(x0x)f(...

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【一】:导数知识点总结

导 数 知识要点

1. 导数(导函数的简称)的定义:设x0是函数y

f(x)定义域的一点,如果自变

量x在x0处有增量x,则函数值y也引起相应的增量y

yx

f(x0x)f(x0)

x

yx

lim

x0

f(x0x)f(x0);比值

称为函数y

f(x)在点x0到x0x之间的平均变化率;如果极

f(x)在点x0

f(x0)

'

lim

x0

f(x0x)f(x0)

x

存在,则称函数y处可导,并把这个或

y|xx

'

极限叫做

f(x0)

'

yf(x)

x0

处的导数,记作

.

,即

=

lim

x0

yx

lim

x0

f(x0x)f(x0)

x

注:①x是增量,我们也称为“改变量”,因为x可正,可负,但不为零. ②已知函数y2. 函数y⑴函数y

f(x)定义域为A

,y

f(x)

'

的定义域为B,则A与B关系为A

B

.

f(x)在点x0处连续与点x0处可导的关系:

f(x)在点x0

f(x)在点x0

处连续是y处可导的必要不充分条件.

f(x)点x0

可以证明,如果y事实上,令x

f(x)在点x0

处可导,那么y

.

处连续.

x0x

,则x

x0相当于x0

1

于是

xx0

limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

x0

x0

lim[

x0

f(x0x)f(x0)

x

xf(x0)]lim

f(x0x)f(x0)

x

limlim

x0

x0

x0

f(x0)f(x0)0f(x0)f(x0).

'

⑵如果y

f(x)点x0

处连续,那么y

0

f(x)在点x0

0

处可导,是不成立的.

x

|x|x

例:f(x)|x|在点x00时,y

x

1;当x

处连续,但在点x0

x

处不可导,因为y不存在.

,当x>

<0时,y

1,故lim

x0

yx

注:①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义: 函数y

f(x)在点x0

处的导数的几何意义就是曲线y

f(x)在点

f(x)在点(x0,f(x))

处的切线

的斜率,也就是说,曲线y方程为yy0

f(x)(xx0).

'

P(x0,

f(x))

处的切线的斜率是f'(x0),切线

4、几种常见的函数导数:

C0

'

n'n1

(C为常数) (x)nx(nR)

''x)cosx (coxs)sinx (sinwww.fz173.com_高二导数知识点总结。

'

(lnx)

x

'

1x

x

(loagx)

'

1x

logae

(e)e

x'x

(a)alna

5. 求导数的四则运算法则:

(uv)uvyf1(x)f2(x)...fn(x)yf1(x)f2(x)...fn(x)

'

'

'

''''

(uv)vuvu(cv)cvcvcv

uv

'

'''''''

(c为常数)

vu

'

vuv

2

'

(v0)

注:①u,v必须是可导函数.

②若两个函数可导,则它们和、差、积、商必可导;若两个函数均不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导. 例如:设和

f(x)2sinx

2x

,g(x)cos

x

2x

,则f(x),g(x)在x0处均不可导,但它们

f(x)g(x)sinxcosx

在x0处均可导.

2

6. 复合函数的求导法则:

fx((x))f(u)(x)

'''

或y'x

y

'

u

u

'

x

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 7. 函数单调性:

⑴函数单调性的判定方法:设函数y

yf(x)为增函数;如果f(x)

'

f(x)在某个区间内可导,如果f(x)

'>0,则

<0,则yf(x)为减函数.

⑵常数的判定方法; 如果函数y

f(x)在区间I

内恒有

f(x)

'

=0,则yf(x)为常数.

注:①f(x)0是f(x)递增的充分条件,但不是必要条件,如y2x3在(,)上并不是都有

f(x)0

,有一个点例外即x=0时f(x) = 0,同样f(x)0是f(x)

递减的充分非必要条件. ②一般地,如果f(x)在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正(或负),那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的. 8. 极值的判别方法:(极值是在x0附近所有的点,都有f(x)<函数

f(x)的极大值,极小值同理) f(x)在点x0

f(x0),则f(x0)是

当函数处连续时,www.fz173.com_高二导数知识点总结。

f(x)

''

①如果在x0附近的左侧②如果在x0附近的左侧

>0,右侧<0,右侧

f(x)

'

'

<0,那么>0,那么

f(x0)是极大值; f(x0)是极小值.

f(x)f(x)

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号,而不是f'(x)=0①. 此外,函数不可导的点也可能是函数的极值点. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比极小值小(函数在某一点附近的点不同).

注①: 若点x0是可导函数

f(x)的极值点,则f(x)

'=0. 但反过来不一定成立. 对

于可导函数,其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导,则导数值为零. 例如:函数y

f(x)x

3

,x0使

f(x)

'

=0,但x0不是极值点.

是函数的极小值点.

②例如:函数yf(x)|x|,在点x0处不可导,但点x0

9. 极值与最值的区别:极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较.

注:函数的极值点一定有意义.

3www.fz173.com_高二导数知识点总结。

导数练习

一、选择题

1.设函数f(x)在R上可导,其导函数f(x),且函数f(x)在x2处取得极小值,

则函数yxf(x)的图象可能是

2.设a>0,b>0,e是自然对数的底数

ab

A.若e+2a=e+3b,则a>b B.若ea+2a=eb+3b,则a<b

ab

C.若e-2a=e-3b,则a>b D.若ea-2a=eb-3b,则a<b 3.设函数f(x)=

A.x=

12

2x

( )

+lnx 则

B. x=

12

( )

为f(x)的极小值点

为f(x)的极大值点

1x

C.x=2为 f(x)的极大值点 4.设函数

f(x)

D.x=2为 f(x)的极小值点

.若

yf(x)

,g(x)x2

bx

的图象与yg(x)的图象有且仅有两

( )

个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 A.x1x2C.x1x2

5.函数y=

12

0,y1y20 0,y1y20

B.x1x2D.x1x2

0,y1y20 0,y1y20

( )

x2㏑x的单调递减区间为

B.(0,1]

C.[1,+∞)

A.(1,1]

D.(0,+∞)

6.已知f(x)x36x29xabc,abc,且f(a)f(b)f(c)0.现给出如下

结论:①f(0)f(1)0;②f(0)f(1)0;③f(0)f(3)0;④f(0)f(3)0. 其中正确结论的序号是

4

( )

A.①③ 7.已知函数f(x)

B.①④

1ln(x1)x

C.②③ D.②④

;则yf(x)的图像大致为

8.设a>0,b>0.

A.若2C.若2

a

( )

b

2a23b2a23b

b

,则a>b ,则a>b

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B.若2D.若2

a

2a23b2a23b

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b

b

,则a<b ,则a<b

aa

9.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)

的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) 10.设函数f(x)xex,则

A.x1为f(x)的极大值点 C.x1为f(x)的极大值点

B.x1为f(x)的极小值点 D.x1为f(x)的极小值点

( ) ( )

11.设a0且a1,则“函数f(x)ax在R上是减函数 ”,是“函数

5

【二】:高中导数及其应用知识点归纳(总结得很好,实用)

第三章 导数及其应用

3.1.2 导数的概念(要求熟悉)

1.函数f(x)在xx0处的导数:函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率称为yf(x)在xx0处的导数,记

''f(x0x)f(x0)。 y作f(x0)或y|xx0,即f'(x0)limlimx0xx0x

3.1.3导数的几何意义(要求掌握)

1.导数的几何意义:函数f(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率, f(x0x)f(x0)即f'(x0)k; limx0x

2.求切线方程的步骤:(注:已知点(x0,y0)在已知曲线上)

①求导函数f(x);②求切线的斜率f(x0);③代入直线的点斜式方程:yy0k(xx0),并整理。

3.求切点坐标的步骤:①设切点坐标(x0,y0);②求导函数f(x);③求切线的斜率f(x0);④由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;⑤点(x0,y0)在曲线f(x)上,将(x0,y0)代入求y0,得切点坐标。

3.2导数的计算(要求掌握)

1. 基本初等函数的导数公式:①C'0;②(x)'ax

x'xx'xaa1'''';③(sinx)'cosx;④(cosx)'sinx; 11(a0,且a1);⑧(lnx)'. xlnax

''''''2.导数运算法则:①[f(x)g(x)]f(x)g(x) ;②[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x); '⑤(a)alna(a0);⑥(e)e;⑦(logax)

f(x)'f'(x)g(x)f(x)g'(x)''][cf(x)]cf(x) ③[;④2g(x)[g(x)]

3.3.1函数的单调性与导数

(1)在区间[a,b]内,f(x)>0,f(x)为单调递增;f(x)<0,f(x)为单调递减。

(2)用导数求函数单调区间的三个步骤:①确定函数的定义域;②求函数f(x)的导数f(x);③令f(x)0解

不等式,得x的范围就是递增区间;④令f(x)0解不等式,得x的范围就是递减区间。

(3)用导数判断或证明函数的单调性的步骤:①求函数f(x)的导数f(x);②判断f(x)的符号;③给出单调性

结论。

3.3.2函数的极值与导数(要求掌握)

1.极值的定义:若导数在x0附近左正右负,则在x0处取得极大值;若左负右正,则取得极小值。

2.求可导函数f(x)的极值的步骤:①确定函数的定义域;②求导数f′(x);③求方程f′(x)=0的根x0;④列表,方程的根x0将整个定义域分成若干个区间,把x,f(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内;⑤判断,得结论。

3.3.3函数的最大(小)值与导数(要求掌握)

函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数f(x)在(a,b)内的极值;

②将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,得出函数f(x)在a,b上的最值。

3.4生活中的优化问题举例 解决优化问题的基本思路: '''

1

2

【三】:高二数学导数知识点

  导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。下面是学习啦小编为大家收集整理的高二数学导数知识点,相信这些文字对你会有所帮助的。


 

        有关导数的知识点推荐:

  一、早期导数概念----特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f(A+E)-f(A),发现的因子E就是我们所说的导数f'(A)。

  二、17世纪----广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的变化率为流数相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。

  三、19世纪导数----逐渐成熟的理论1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简单表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数如果函数y=f(x)在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后魏尔斯特拉斯创造了&epsilon;-δ语言对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式。

  四、实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能 微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。就历史来看两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年后来极限论就是现在所使用的。光是电磁波还是粒子是一个物理长期争论的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论都不是最好的手段。

【四】:高二数学双曲线知识点

  在数学中,双曲线(希腊语“ὑπ&epsilon;ρβολή”字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。下面是学习啦小编为大家收集整理的高二数学双曲线知识点,相信这些文字对你会有所帮助的。



【五】:高中数学常用导数公式

  导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时,函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在,a即为在x0处的导数,记作f'(x0)或df/dx(x0)。

  1.y=c(c为常数) y'=0

  2.y=x^n y'=nx^(n-1)

  3.y=a^x y'=a^xlna

  y=e^x y'=e^x

  4.y=logax y'=logae/x

  y=lnx y'=1/x

  5.y=sinx y'=cosx

  6.y=cosx y'=-sinx

  7.y=tanx y'=1/cos^2x

  8.y=cotx y'=-1/sin^2x

  9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

  10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

  11.y=arctanx y'=1/1+x^2

  12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

  在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到:

  1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』

  2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

  3.y=f(x)的反函数是x=g(y),则有y'=1/x'

  证:1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0。用导数的定义做也是一样的:y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

  2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

  3.y=a^x,

  ⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)

  ⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x

  如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道:⊿x=loga(1+β)。

  所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

  显然,当⊿x→0时,β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

  把这个结果代入lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x后得到lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。

  可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x。

  4.y=logax

  ⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x

  ⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

  因为当⊿x→0时,⊿x/x趋向于0而x/⊿x趋向于∞,所以lim⊿x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有

  lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。

  可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x。

  这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

  所以y'=e^nlnx•(nlnx)'=x^n•n/x=nx^(n-1)。

  5.y=sinx

  ⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)

  ⊿y/⊿x=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/⊿x=cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2)/(⊿x/2)

  所以lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0cos(x+⊿x/2)•lim⊿x→0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx

  6.类似地,可以导出y=cosx y'=-sinx。

  7.y=tanx=sinx/cosx

  y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

  8.y=cotx=cosx/sinx

  y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

  9.y=arcsinx

  x=siny

  x'=cosy

  y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

  10.y=arccosx

  x=cosy

  x'=-siny

  y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

  11.y=arctanx

  x=tany

  x'=1/cos^2y

  y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2

  12.y=arccotx

  x=coty

  x'=-1/sin^2y

  y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

  另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

  4.y=u土v,y'=u'土v'

  5.y=uv,y=u'v+uv'

  均能较快捷地求得结果。

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