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数列最值问题

导读:   数列(sequence of number)是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在......

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  数列(sequence of number)是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项,通常用an表示。173资源网www.fz173.com 小编为大家整理的相关的数列最值问题供大家参考选择。

  数列最值问题

  数列的最值问题及单调数列问题

  例1、已知一个正项等差数列前20项的和为100,那么[最大值为 ( )

  A.25 B.50 C.100 D.不存在

  解:依题意,[,

  所以,

  [

  [

  例2、等差数列[中,[,[,则其前n项和[取最大值时[等于( )

  A.503 B.504 C.503或504 D.504或505

  解析:[,[

  [,所以,[,所以,[

  [[,结合二次函数[的图象进行判定。

  另解:[,所以[,数列[为递减的等差数列,所以,把所有非负项都加起来可得到[的最大值。由[,可知,当[时,数量的项非负,而[,所以,[或[最大。

  例3(2010天津文15)设[是等比数列,公比[,[为[的前[项和. 记[,[设[为数列[的最大项,则[ 4

  【解析】 因为[=[

  设[,则有[=[=[=[

  [[=[,当且仅当[,即[,

  所以当[为数列[的最大项时,[=4.

  注:本题对基本不等式的考查是目的之一,基本不等式就是:设[,[,则[,等号成立的条件是:“[”.

  01、(2010辽宁理数16)已知数列[满足[,[,则[的最小值为__________

  解析:[,

  累加后,[[

  [[,令[,则[在[上单调递增,在[上是递减的,因为[,所以当[或[时,[有最小值

  又因为[,[,所以[的最小值为[

  02、(2012浙江理科7)设[是公差为[的无穷等差数列[的前n项和,则下列命题错误的是:

  A.若[,则数列[有最大项; B.若数列[有最大项,则[

  C.若数列[是递增数列,则对任意的[,均有[

  D.若对任意的[,均有[,则数列[是递增数列

  【答案】C

  【解析】选项C显然是错的,举出反例:[,0,1,2,3,….满足数列[是递增数列,但是[不成立.

  03、(2011天津理4)已知[为等差数列,其公差为[,且[是[与[的等比中项,[为[的前n项和, [,则[的值为:

  04、(2011陕西理14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米,开始时需将树苗集中[放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米)。2000

  【解析】设树苗集中放置在第[号坑旁边,则20名同学返所走的路程总和为

  [[[

  =[[即[时[.

  05、(2011重庆理11)在等差数列[中,[,则[

  解析:74. [,故[

  06、(2010福建理数3)设等差数列[的前n项和为[,若[,[,则当[取最小值时,[等于

  A.6 B.7 C.8 D.9

  【解析】设该数列的公差为[,则[,解得[,

  所以[,所以当[时,[取最小值。

  07、(2010浙江理数14)设[,[,[

  [,将[的最小值记为[,则

  [其中[[=__________________ .

  概念描述

  数列的函数理解

  ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1,2,3,…,n}的函数,其中的{1,2,3,…,n}不能省略。

  ②用函数的观点认识数列是重要的思想方法,一般情况下函数有三种表示方法,数列也不例外,通常也有三种表示方法:a.列表法;b。图像法;c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

  ③函数不一定有解析式,同样数列也并非都有通项公式。

  数列的一般形式可以写成

  a1,a2,a3,…,an,a(n+1),……

  简记为{an},

  项数有限的数列为“有穷数列”(finite sequence),

  项数无限的数列为“无穷数列”(infinite sequence)。

  数列的各项都是正数的为正项数列;

  从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;如:1,2,3,4,5,6,7;

  从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;如:8,7,6,5,4,3,2,1;

  从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列;

  各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数);

  各项相等的数列叫做常数列(如:2,2,2,2,2,2,2,2,2)。

  通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式(注:通项公式不唯一)。

  递推公式:如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

  数列中项的总数为数列的项数。特别地,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n)。

  如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n).

  并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如:π的不同近似值,根据精确的程度,可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141,…它没有通项公式。

  数列中的项必须是数,它可以是实数,也可以是复数。

  用符号{an}表示数列,只不过是“借用”集合的符号,它们之间有本质上的区别:1.集合中的元素是互异的,而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无序的,而数列中的项必须按一定顺序排列,也就是必须是有序的。

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