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数列求和的基本方法和技巧

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  数列求和对按照一定规律排列的数进行求和。求Sn实质上是求{Sn}的通项公式,应注意对其含义的理解。以下是173资源网www.fz173.com 分享的数列求和的基本方法和技巧,希望能帮助到大家! 

  数列求和的基本方法和技巧

  刘高峰

  数列求和是数列的重要内容之一,在现行高中教材中,只对等差数列和等比数列的求和公式进行了计算推导,而数列种类繁多,形式复杂,绝大多数既非等差数列又非等比数列,也就不能直接用公式来求解。对于这种非常规数列的求和问题,针对具体情况,现归结为以下几种方法,供大家参考。

  一、倒序相加法

  此法来源于等差数列求和公式的推导方法。

  例1. 已知

  

 

  求

  

 

  解:

  

 

  。 ①

  把等式①的右边顺序倒过来写,即①可以写成以下式子:

  

 

  ②

  把①②两式相加得

  

 

  

 

  二、错位相消法

  此法来源于等比数列求和公式的推导方法。

  例2. 求数列

  

 

  的前n项和。

  解:设

  

 

  当

  

 

  时,

  

 

  当

  

 

  时,

  

 

  ①

  ①式两边同时乘以公比a,得

  

 

  ②

  ①②两式相减得

  

 

  

 

  三、拆项分组法

  把一个数列分拆成若干个简单数列(等差数列、等比数列),然后利用相应公式进行分别求和。

  例3. 求数列

  

 

  的前n项和。

  解:设数列的前n项和为

  

 

  ,则

  

 

  

 

  

 

  当

  

 

  时,

  

 

  当

  

 

  时,

  

 

  说明:在运用等比数列的前n项和公式时,应对q=1与

  

 

  的情况进行讨论。

  四、裂项相消法

  用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项技巧。如

  

 

  

 

  

 

  例4. 求数列

  

 

  的前n项和。

  解:

  

 

  

 

  五、奇偶数讨论法

  如果一个数列为正负交错型数列,那么从奇数项和偶数项分别总结出

  

 

  与n的关系进行求解。

  例5. 已知数列

  

 

  求该数列的前n项和

  

 

  。

  解:

  

 

  对n分奇数、偶数讨论求和。

  ①当

  

 

  时,

  

 

  

 

  ②当

  

 

  时,

  

 

  

 

  

 

  六、通项公式法

  利用

  

 

  ,问题便转化成了求数列

  

 

  的通项问题。这种方法不仅思路清晰,而且运算简洁。

  例6. 已知数列

  

 

  求该数列的前n项和

  

 

  。

  解:

  

 

  

 

  即

  

 

  ∴数列

  

 

  是一个常数列,首项为

  

 

  

 

  七、综合法

  这种方法灵活性比较大,平时注意培养对式子的敏锐观察力,尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。

  例7. 已知

  

 

  求

  

 

  分析:注意观察到:

  

 

  

 

  其他可依次类推。关键是注意讨论最后的n是奇数还是偶数。

  解:①当n为奇数时,由以上的分析可知:

  

 

  ②当n为偶数时,可知:

  

 

  由①②可得

  

 

  说明:对于以上的各种方法,大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。当然,数列求和的方法还有很多,大家平时还应多注意总结。

  数列求和的基本方法和技巧

  数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法是高考的必考热点,今天我们就总结了数列求和的基本方法和技巧

  1.公式法数列求和:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数列求和公式,务必检查其公比与1的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:

  

 

  ,

  

 

  ,

  

 

  .如

  (1)等比数列

  

 

  的前

  

 

  项和Sn=2n-1,则

  

 

  =_____

  (答:

  

 

  );

  (2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”,如

  

 

  表示二进制数,将它转换成十进制形式是

  

 

  ,那么将二进制

  

 

  转换成十进制数是_______

  (答:

  

 

  )

  2.分组数列求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先合并在一起,再运用公式法求和. 如求:

  

 

  (答:

  

 

  )

  3.倒序相加法求数列和:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前

  

 

  和公式的推导方法). 如

  ①求证:

  

 

  ;

  ②已知

  

 

  ,则

  

 

  =______

  (答:

  

 

  )

  4.错位相减法求数列和:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前

  

 

  和公式的推导方法).

  如(1)设

  

 

  为等比数列,

  

 

  ,已知

  

 

  ,

  

 

  ,①求数列

  

 

  的首项和公比;②求数列

  

 

  的通项公式.(答:①

  

 

  ,

  

 

  ;②

  

 

  );

  (2)设函数

  

 

  ,数列

  

 

  满足:

  

 

  

 

  

 

  ,①求证:数列

  

 

  是等比数列;②令

  

 

  

 

  ,求函数

  

 

  在点

  

 

  处的导数

  

 

  ,并比较

  

 

  与

  

 

  的大小。(答:①略;②

  

 

  ,当

  

 

  时,

  

 

  =

  

 

  ;当

  

 

  时,

  

 

  <

  

 

  ;当

  

 

  时,

  

 

  >

  

 

  )

  5.数列求和的裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

  ①

  

 

  ; ②

  

 

  ;

  ③

  

 

  ,

  

 

  ;

  ④

  

 

  ;⑤

  

 

  ;

  ⑥

  

 

  .

  如(1)求和:

  

 

  (答:

  

 

  );

  (2)在数列

  

 

  中,

  

 

  ,且Sn=9,则n=_____

  (答:99);

  6.通项转换法求数列和:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。如

  ①求数列1×4,2×5,3×6,…,

  

 

  ,…前

  

 

  项和

  

 

  =

  (答:

  

 

  );

  ②求和:

  

 

  (答:

  

 

  )

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