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方程的根与函数的零点教学实录

导读:   方程(英文:equation)是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,是含有未知数的等式,通常在两者之间有一等......

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  方程(英文:equation)是表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等关系的一种等式,是含有未知数的等式,通常在两者之间有一等号“=”。173资源网www.fz173.com 小编精心为大家整理了方程的根与函数的零点教学实录,希望对你有帮助。

  方程的根与函数的零点教学实录

  方程的根与函数的零点教学设计

  黑龙江省大庆实验中学 董雁飞

  教 材: 普通高中课程标准实验教科书数学必修1(人民教育出版社A版)第三章函数的应用

  一、教学目标

  知识与技能1.结合方程根的几何意义,理解函数零点的定义;

  2.结合零点定义的探究,掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系;

  3.结合几类基本初等函数的图象特征,掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.

  过程与方法1.通过化归与转化思想的引导,培养学生从已有认知结构出发,寻求解决棘手问题方法的习惯;

  2.通过数形结合思想的渗透,培养学生主动应用数学思想的意识;

  3.通过习题与探究知识的相关性设置,引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法;

  4.通过对函数与方程思想的不断剖析,促进学生对知识灵活应用的能力。

  情感、态度与价值观1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值;

  2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯;

  3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

  二、教学重点与难点

  教学重点零点的概念及零点存在性的判定。

  教学难点探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.

  三、教学的方法与手段

  授课类型:新 授 课教学方法:启发式教学、探究式学习

  教学课件:自制Powerpoint课件多媒体设备:计算机

  四、教学过程

  【环节一:揭示意义,明确目标】揭示本章意义,指明课节目标

  教师活动:用屏幕显示第三章 函数的应用

  3.1.1方程的根与函数的零点

  教师活动:这节课我们来学习第三章函数的应用。通过第二章的学习,我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质,而这一章我们就要运用函数思想,建立函数模型,去解决现实生活中的一些简单问题。为此,我们还要做一些基本的知识储备。方程的根,我们在初中已经学习过了,而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究,那么,我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。

  教师活动:板书标题(方程的根与函数的零点)。

  【环节二:巧设疑云,轻松渗透】设置问题情境,渗透数学思想

  教师活动:请同学们思考这个问题。用屏幕显示判断下列方程是否有实根,有几个实根?

  (1)

  

 

  ;(2)

  

 

  .

  学生活动:回答,思考解法。

  教师活动:第二个方程我们不会解怎么办?你是如何思考的?有什么想法?我们可以考虑将复杂问题简单化,将未知问题已知化,通过对第一个问题的研究,进而来解决第二个问题。对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决,我们应该打破思维定势,走出自己给自己画定的牢笼!这样我们先把所依赖的拐杖丢掉,假如第一个方程你不会解,也不会应用判别式,你要怎样判断其实根个数呢?

  学生活动:思考作答。

  教师活动:用屏幕显示函数

  

 

  的图象。

  学生活动:观察图像,思考作答。

  教师活动:我们来认真地对比一下。用屏幕显示表格,让学生填写

  

 

  的实数根和函数图象与x轴的交点。

  学生活动:得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。

  教师活动:我们就把使方程成立的实数x称做函数的零点.

  【环节三:形成概念,升华认知】引入零点定义,确认等价关系

  教师活动:这是我们本节课的第一个知识点。板书(一、函数零点的定义:对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点)。

  教师活动:我可不可以这样认为,零点就是使函数值为0的点?

  学生活动:对比定义,思考作答。

  教师活动:结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程,你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系?

  学生活动:思考作答。

  教师活动:这是我们本节课的第二个知识点。板书(方程的根与函数零点的等价关系)。

  教师活动:检验一下看大家是否真正理解了这种关系。如果已知函数y=f(x)有零点,你怎样理解它?

  学生活动:思考作答。

  教师活动:对于函数y=f(x)有零点,从“数”的角度理解,就是方程f(x)=0有实根,从“形”的角度理解,就是图象与x轴有交点。从我们刚才的探究过程中,我们知道,方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系。所以函数零点实际上是方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点的一个统一体。

  在屏幕上显示:函数y=f(x)有零点

  

 

  

 

  方程f(x)=0有实数根

  

 

  函数y=f(x)的图象与x轴有交点

  教师活动:下面就检验一下大家的实际应用能力。

  【环节四:应用思想,小试牛刀】数学思想应用,基础知识强化

  教师活动:用屏幕显示求下列函数的零点.

  

 

  

 

  

 

  学生活动:由四位同学分别回答他们确定零点的方法。画图象时要求用语言描述4个图象的画法;

  教师活动:根据学生的描述,在黑板上作出图象(在接下来探究零点存在性定理时,图象会成为同学们思考问题的很好的参考)。

  教师活动:我们已经学习了函数零点的定义,还学习了方程的根与函数零点的等价关系,在这些知识的探究发现中,我们也有了一些收获,那我们回过头来看看能不能解决

  

 

  的根的存在性问题?

  学生活动:可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解。

  教师活动:用屏幕显示学生所论述的解题过程。这种解法充分运用了我们前面的解题思想,将未知问题转化成已知问题,将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画的函数,利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题。看来我们的探究过程是非常有价值的。

  教师活动:如果不转化,这个问题就真的解决不了么?现在最棘手的问题是y=

  

 

  的图象不会画,那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢?

  【环节五:探究新知,思形想数】探究图象本质,数形转化解疑

  教师活动:我们看到,当函数图象穿过x轴时,图象就与x轴产生了交点,图象穿过x轴这是一种几何现象,那么如何用代数形式来描述呢?用屏幕显示

  

 

  的函数图象,多次播放抛物线穿过x轴的画面。

  学生活动:通过观察图象,得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.

  教师活动:好!我们明确一下这个结论,函数y=f(x)具备什么条件时,能在区间(a,b)上存在零点?

  学生活动:得出f(a)·f(b)<0的结论。

  教师活动:若f(a)·f(b)<0,函数y=f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗?

  学生活动:可从黑板上的图象中受到启发,得出只有在[a,b]上连续不断的函数,在满足f(a)·f(b)<0的条件时,才会存在零点的结论。

  【环节六:归纳定理,深刻理解】初识定理表象,深入理解实质

  教师活动:其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理,那就是零点存在性定理。这是我们本节课的第三个知识点。板书(三、零点存在性定理)。

  教师活动:用屏幕显示函数零点存在性定理:

  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) ·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点.

  即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

  教师活动:这个定理比较长,找个同学给大家读一下,让大家更好地体会定理的内容。

  学生活动:读出定理。

  教师活动:大家注意到了么,定理中,开始时是在闭区间[a,b]上连续,结果推出时却是在开区间(a,b)上存在零点。你怎样理解这种差异?

  学生活动:思考作答。

  教师活动:虽然我们已经得到了零点存在性定理,但同学们真的那么坦然么?结合黑板上的图象,再结合定理的叙述形式,你对定理的内容可有疑问?

  学生活动:通过观察黑板上的板书图象,大致说出以下问题:

  1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?

  2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么?

  3.在什么条件下,函数y=f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点?

  教师活动:那我们就来解决一下这些问题。

  学生活动:通过黑板上的图象举出反例,得出结论。

  1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)<0,则只能确定f(x)在区间(a,b)内有零点,有几个不一定。

  2.若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内也可能有零点。

  3.在零点存在性定理的条件下,如果函数再具有单调性,函数y=f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点。

  【环节七:应用所学,答疑解惑】把握理论实质,解决初始问题

  教师活动:现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在,存在几个了。那解决

  

 

  的根的存在性问题应该是游刃有余了。

  用屏幕显示判断下列方程是否有实根,有几个实根?(2)

  

 

  学生活动:通过对零点存在性的探究和理解,表述该问题的解法。

  【环节八:归纳总结,梳理提升】总结基础知识,提升解题意识

  教师活动:本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了,但最重要的,也是贯穿本节课始终,起到灵魂作用的却是三大数学思想,即化归与转化的数学思想,数形结合的数学思想,函数与方程的数学思想.数学思想才是数学的灵魂所在,也是数学的魅力所在,对我们解决问题起着绝对的指导作用。愿我们每个同学在今后的学习中体味、感悟、应用、升华!

  【环节九:理论内化,巩固升华】整理思想方法,灵活应用解题

  1.函数f(x)=x(x2-16)的零点为( )

  A. (0,0),(4,0) B.0,4 C. (–4,0),(0,0),(4,0) D.–4,0,4

  2.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(x)在

  

 

  上有一个零点,则f(x)的零点个数为( )

  A.3 B.2 C.1 D.不确定

  3.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表:

  x 1 2 3 4 5 6 7

  f(x) 23 9 –7 11 –5–12–26

  那么函数在区间[1,6]上的零点至少有( )个

  A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

  4.函数f(x)= – x3 – 3x + 5的零点所在的大致区间为( )

  A.( – 2 ,0) B. (1,2) C. (0,1) D. (0,0.5)

  【环节十:布置作业,举一反三】延伸课堂思维,增强应用意识

  

 

  ①有2个零点;②3个零点;③4个零点.

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