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方程的根与函数的零点教案

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  教案是教师为顺利而有效地开展教学活动,根据教学大纲 和教科书要求及学生的实际情况,以课时或课题为单位。173资源网www.fz173.com 小编为大家整理的相关的方程的根与函数的零点教案供大家参考选择。

  方程的根与函数的零点教案

  3.1.1 方程的根与函数的零点

  (一)教学目标

  1.知识与技能

  (1)理解函数零点的意义,了解函数零点与方程根的关系.

  (2)由方程的根与函数的零点的探究,培养转化化归思想和数形结合思想.

  2.过程与方法

  由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析,导入零点的概念,引入方程的根与函数零点的关系,从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.

  3.情感、态度与价值观

  在体验零点概念形成过程中,体会事物间相互转化的辨证思想,享受数学问题研究的乐趣.

  (二)教学重点与难点

  重点:理解函数零点的概念,掌握函数零点与方程根的求法.

  难点:数形结合思想,转化化归思想的培养与应用.

  (三)教学方法

  在相对熟悉的问题情境中,通过学生自主探究,合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合.

  (四)教学过程

  教学环节 教学内容 师生互动 设计意图

  复习引入 观察下列三组方程与函数

  方 程 函 数

  x2–2x–3 = 0 y=x2–2x–3

  x2–2x+1 = 0 y=x2–2x+1

  x2–2x+3 = 0 y=x2–2x+3

  利用函数图象探究方程的根与函数图象与x轴的交点之间的关系 师生合作

  师:方程x2 – 2x –3 = 0的根为–1,3函数y = x2 – 2x – 3与x轴交于点(–1,0) (3,0)

  生:x2 – 2x + 1 = 0有相等根为1.

  函数y= x2 – 2x + 1与x轴有唯一交点 (1,0).

  x2 – 2x + 3 = 0没有实根

  函数y = x2 – 2x + 3与x轴无交点

  以旧引新,导入课题

  概念形成 1.零点的概念

  对于函数y=f (x),称使 y=f (x)= 0的实数x为函数 y=f (x)的零点

  2.函数的零点与方程根的关系

  方程f (x) = 0有实数根 函数

  y = f (x)的图象与x轴有交点 函数y = f (x)的零点

  3.二次函数零点的判定

  对于二次函数y = ax2 + bx + c与二次方程ax2 + bx + c,其判别式△= b2 – 4ac

  判别

  式

  方程ax2 + bx + c = 0的根 函数y = ax2 + bx + c的零点

  △>0 两不相等实根 两个零点

  △=0 两相等实根 一个零点

  △<0 没有实根 0个零点

  师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为函数的零点,请同学归纳零点的定义

  师:考察函数①y = lgx

  ②y = lg2(x + 1) ③y = 2x

  ④y = 2x – 2的零点

  生:①y = lgx的零点是x = 1

  ②y = lg2(x + 1)的零点是x=0

  ③y = 2x没有零点

  ④y = 2x – 2的零点是x = 1

  归纳总结

  感知概念

  分析特征

  形成概念

  概念深化 引导学生回答下列问题

  ①如何求函数的零点?

  ②零点与图象的关系怎样?

  师生合作,学生口答,老师点评,阐述

  生①零点即函数为零对应的自变量的值,零点即对应方程的根

  ②零点即函数图象与x轴交点的横坐标

  ③求零点可转化为求方程的根

  以问题讨论代替老师的讲援

  应用举例 练习1.求函数y = –x2 – 2x + 3的零点,并指出y>0,y = 0的x的取值范围

  练习2.求函数y =x3 – 2x2 – x + 2的零点,并画出它的图象

  练习3.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根:(1) –x2+3x+5 = 0;(2)2x (x–2) = –3;

  (3)x2 = 4x – 4;

  (4)5x2+2x=3x2+5. 学生自主尝试练习完成练习1、2、3

  生:练习1解析:零点–3,1

  x∈(–3,1)时y>0

  时y<0

  练习2解析:因为x3–2x2–x+2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x–2) (x2–1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1),

  所以已知函数的零点为–1,1,2.

  3个零点把x轴分成4个区间: ,[–1,1],[1,2],

  在这4个区间内,取x的一些值(包括零点),列出这个函数的对应值表:

  x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 …

  y … –4.38 0 1.88 2 1.13 0 –0.63 0 2.63 …

  在直角坐标系内描点连线,这个函数的图象如图所示

  练习3解析:(1)令f (x) = –x2 + 3x + 5,作出函数f (x)的图象,它与x轴有两个交点,所以方程–x2 + 3x + 5 = 0有两个不相等的实数根.

  (2)2x (x – 2) = –3可化为2x2–4x+3=0

  令f (x) = 2x2–4x+3作出函数f (x)的图象,它与x轴没有交点,所以方程2x (x – 2) = –3无实数根

  (3)x2 = 4x – 4可化为x2 – 4x + 4 = 0,令f (x) = x2 – 4x + 4,作出函数f (x)的图象,它与x轴只有一个交点(相切),所以方程x2 = 4x – 4有两个相等的实数根

  (4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2 + 2x – 5 = 0,令f (x) = 2x2 + 2x–5,作出函数f (x)的图象,它与x轴有两个交点,所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根

  师:点评板述练习的解答过程 让学生动手练习或借助多媒体演示,加深对概念的说明,培养思维能力

  归纳总结 (1)知识方面

  零点的概念、求法、判定

  (2)数学思想方面

  函数与方程的相互转化,即转化思想

  借助图象探寻规律,即数形结合思想 学生归纳,老师补充、点评、完善 回顾、反思、归纳知识,提高自我整合知识的能力

  课后作业 3.1 第一课时 习案 学生独立完成 固化知识,提升能力

  备选例题

  例:已知a∈R讨论关于x的方程|x2 – 6x + 8| = a的实数解的个数.

  【解析】令f (x) = |x2 – 6x + 8|,g (x) = a,在同一坐标系中画出f (x)与g (x)的图象,如图所示,

  f (x) = | (x – 3)2 – 1|,

  下面对a进行分类讨论,由图象得,

  当a<0时,原方程无实数解;

  当a = 0时,原方程实数解的个数为3;

  当0<a<1时,原方程实数解的个数为4;

  当a>1或a = 0时,原方程实数解的个数为2.

  3.1.1方程的根与函数的零点 公开课教案

  教学目标:

  1、 能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。

  2、 理解函数的零点与方程的联系。

  3、 渗透由特殊到一般的认识规律,提升学生的抽象和概括能力。

  教学重点、难点:

  1、 重点:理解函数的零点与方程根的联系,使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。

  2、 难点:函数零点存在的条件。

  教学过程:

  1、 问题引入

  探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

  出示表格,引导学生填写表格,并分析填出的表格,从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标,探究一元二次方程与相应二次函数的关系。

  一元二次方程

  方程的根

  二次函数

  图像与X轴的交点

  x2-2x-3=0

  x1=-1,x2=3

  y=x2-2x-3

  (-1,0),(3,0)

  x2-2x+1=0

  x1= x2=1

  y=x2-2x+1

  (1,0)

  x2-2x+3=0

  无实数根

  y=x2-2x+3

  无交点

  (图1-1)函数y=x2-2x-3的图像

  (图1-2)函数y=x2-2x+1的图像

  (图1-3)函数y=x2-2x+3的图像

  归纳:

  (1) 如果一元二次方程没有实数根,相应的二次函数图像与x轴没有交点;

  (2) 如果一元二次方程有实数根,相应的二次函数图像与x轴有交点。

  反之,二次函数图像与x轴没有交点,相应的一元二次方程没有实数根;

  二次函数图像与x轴有交点,则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。

  2、 函数的零点

  (1) 概念

  对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。

  (2) 意义

  方程f(x)=0有实数根

  函数y=f(x)的图像与x轴有交点

  函数y=f(x)有零点

  (3) 求函数的零点

  ① 代数法:求方程f(x)=0的实数根

  ② 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来,并利用函数的性质找出零点。

  3、 函数零点的存在性

  (1) 二次函数的零点

  △=b2-4ac

  ax2+bx+c=0的实数根

  y=ax2+bx+c的零点数

  △﹥0

  有两个不等的实数根x1、x2

  两个零点x1、 x2

  △=0

  有两个相等的实数根x1= x2

  一个零点x1(或x2)

  △﹤0

  没有实数根

  没有零点

  (图2-1)方程ax2+bx+c=0的判别式△﹥0时,函数y= ax2 +bx+c(a≠0)的图像

  (图2-2)方程ax2+bx+c=0的判别式△=0时,函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图像

  (图2-3)方程ax2+bx+c=0的判别式△﹤0时,函数y= ax2 +bx+c(a≠0)的图像

  (2) 探究发现

  问题1:二次函数y=x2-2x-3在区间[-2,1]上有零点。试计算f(-2)与f(1)的乘积有什么特点?

  解:f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5

  f(1)=12 -2*1-3=1-2-3=-4

  f(2)* f(1)=-4*5=-20﹤0

  问题2:在区间[2,4]呢?

  解:f(2)=(2)2-2*2-3=-3

  f(4)=42-2*4-3=5

  f(4)*f(2)=(-3)* 5=-15﹤0

  归纳:

  f(2)* f(1)﹤0,函数y=x2-2x-3在[-2,1]内有零点x=-1;f(2)* f(4)﹤0,函数y=x2-2x-3在[2,4]内有零点x=3,它们分别是方程y=x2-2x-3的两个根。

  结论:

  如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线并且有 ,那么,函数 在区间 内有零点,即存在 ,使得 ,这个 也就是方程 的根。

  ① 图像在 上的图像是连续不断的

  ②

  ③ 函数 在区间 内至少有一个零点

  4、 习题演练

  利用函数图像判断下列二次函数有几个零点

  ① y=-x2+3x+5 , ②y=2x(x-2)+3

  解:①令f(x)=-x2+3x+5,

  做出函数f(x)的图像,如下

  (图4-1)

  它与x轴有两个交点,所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根,则函数y=-x2+3x+5有两个零点。

  ②y=2x(x-2)+3可化为

  做出函数f(x)的图像,如下:

  (图4-2)

  它与x轴没有交点,所以方程2x(x-2)=-3无实数根,则函数y=2x(x-2)+3没有零点。

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